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豪华网站设计,服务网站运营方案,数据库课程设计报告网站开发,dedecms 安防监控行业网站模板【题目链接】 ybt 1634#xff1a;【例 4】曹冲养猪 洛谷 P1495 【模板】中国剩余定理#xff08;CRT#xff09;/ 曹冲养猪 【题目考点】 1. 中国剩余定理 有线性同余方程组#xff1a; {x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡an(modmn)\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1…【题目链接】ybt 1634【例 4】曹冲养猪洛谷 P1495 【模板】中国剩余定理CRT/ 曹冲养猪【题目考点】1. 中国剩余定理有线性同余方程组{ x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ a n ( m o d m n ) \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n} \end{cases}⎩⎨⎧​x≡a1​(modm1​)x≡a2​(modm2​)⋮x≡an​(modmn​)​其中m 1 , m 2 , . . . , m n m_1, m_2, ..., m_nm1​,m2​,...,mn​互质。中国剩余定理可以求解以上线性同余方程组。设M m 1 m 2 . . . m n Mm_1m_2...m_nMm1​m2​...mn​为m 1 m_1m1​到m n m_nmn​的乘积。设q i M m i q_i\dfrac{M}{m_i}qi​mi​M​。线性同余方程组的解为x ∑ i 1 n a i q i ( q i − 1 m o d m i ) x\sum_{i1}^na_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)xi1∑n​ai​qi​(qi−1​modmi​)证明对于任一同余方程x ≡ a k ( m o d m k ) x\equiv a_k \pmod{m_k}x≡ak​(modmk​)求∑ i 1 n a i q i ( q i − 1 m o d m i ) m o d m k \sum_{i1}^na_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)\bmod m_k∑i1n​ai​qi​(qi−1​modmi​)modmk​当i ≠ k i\neq kik时由于m k ∣ M m_k\mid Mmk​∣M且g c d ( m k , m i ) 1 gcd(m_k, m_i)1gcd(mk​,mi​)1所以m k ∣ M m i m_k\mid \frac{M}{m_i}mk​∣mi​M​即m k ∣ q i m_k\mid q_imk​∣qi​。所以a i q i ( q i − 1 m o d m i ) m o d m k 0 a_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)\bmod m_k 0ai​qi​(qi−1​modmi​)modmk​0当i k ikik时a k q k ( q k − 1 m o d m i ) m o d m k a k m o d m k a_kq_k(q_k^{-1} \bmod m_i)\bmod m_ka_k\bmod m_kak​qk​(qk−1​modmi​)modmk​ak​modmk​所以∑ i 1 n a i q i ( q i − 1 m o d m i ) m o d m k a k m o d m k \sum_{i1}^na_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)\bmod m_ka_k\bmod m_k∑i1n​ai​qi​(qi−1​modmi​)modmk​ak​modmk​即当x ∑ i 1 n a i q i ( q i − 1 m o d m i ) x\sum_{i1}^na_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)x∑i1n​ai​qi​(qi−1​modmi​)时满足x ≡ a k ( m o d m k ) x\equiv a_k \pmod{m_k}x≡ak​(modmk​)因此x ∑ i 1 n a i q i ( q i − 1 m o d m i ) x\sum_{i1}^na_iq_i(q_i^{-1} \bmod m_i)x∑i1n​ai​qi​(qi−1​modmi​)满足该线性同余方程组。2. 乘法逆元乘法逆元相关知识见洛谷 P1082 [NOIP 2012 提高组] 同余方程【解题思路】设共有x xx头猪建a i a_iai​个猪圈b i b_ibi​头猪没有去处那么满足x m o d a i b i x\bmod a_i b_ixmodai​bi​写成同余方程为x ≡ b i ( m o d a i ) x\equiv b_i \pmod{a_i}x≡bi​(modai​)。那么本题需要求该同余方程组的解{ x ≡ b 1 ( m o d a 1 ) x ≡ b 2 ( m o d a 2 ) ⋮ x ≡ b n ( m o d a n ) \begin{cases} x \equiv b_1 \pmod{a_1} \\ x \equiv b_2 \pmod{a_2} \\ \vdots \\ x \equiv b_n \pmod{a_n} \end{cases}⎩⎨⎧​x≡b1​(moda1​)x≡b2​(moda2​)⋮x≡bn​(modan​)​可以使用中国剩余定理求解。注意在求解过程中表达式的值可能会超出long long类型的表示范围应该将表达式的值强转为__int128类型128位整型完成计算。【题解代码】解法1中国剩余定理#includebits/stdc.husingnamespacestd;#defineN15#defineMOD(a,b)(((a)%(b)(b))%(b))//数学取模 a mod btypedeflonglongLL;voidexgcd(LL a,LL b,LLx,LLy)//扩展欧几里得定理{if(b0){x1,y0;return;}exgcd(b,a%b,y,x);y-a/b*x;}LLinv(LL a,LL m)//求a模m的逆元{LL x,y;exgcd(a,m,x,y);returnMOD(x,m);}LLCRT(LL*a,LL*m,LL n)//x≡a[i] (mod m[i]) i:[1, n]{LL M1,res0;for(inti1;in;i)M*m[i];for(inti1;in;i)res(res(__int128_t)a[i]*M/m[i]*inv(M/m[i],m[i]))%M;returnres;}intmain(){LL n,a[N],b[N];cinn;for(inti1;in;i)cina[i]b[i];coutCRT(b,a,n);return0;}