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网站建设中翻译,小程序模板免费制作,室内设计多久能学出来,校园网站建设年度总结期末考试专项突破#xff1a;二维随机变量的期望、方差与相关性分析#xff08;附高频题型详解#xff09;适用对象#xff1a;概率论与数理统计课程期末复习生 核心考点#xff1a;二维离散/连续型随机变量、边缘密度、协方差、相关系数、积分计算相关重点知识点总体预览…期末考试专项突破二维随机变量的期望、方差与相关性分析附高频题型详解适用对象概率论与数理统计课程期末复习生核心考点二维离散/连续型随机变量、边缘密度、协方差、相关系数、积分计算相关重点知识点总体预览在概率论期末考试中二维随机变量是重中之重尤其围绕其数字特征期望、方差、联合与边缘分布、协方差与相关系数展开的题目几乎必考。本专题涵盖以下核心内容二维离散型 连续型随机变量的定义与性质期望E(X),E(Y)E(X), E(Y)E(X),E(Y)与方差D(X),D(Y)D(X), D(Y)D(X),D(Y)的计算方法一元定积分与二重积分在概率密度函数中的应用积分区域的确定技巧如三角形、矩形、圆形等边缘概率密度函数的求解协方差Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)的两条常用公式相关系数ρXY\rho_{XY}ρXY​的计算及其统计意义“独立 ⇒ 不相关但不相关 ⇏ 独立”的逻辑辨析协方差的基本性质线性性、对称性、与方差的关系等掌握这些内容不仅能应对选择填空更能攻克大题压轴知识点详解1. 二维随机变量的基本概念离散型(X,Y)(X,Y)(X,Y)取有限或可列无限个值用联合分布律P(Xxi,Yyj)pijP(Xx_i, Yy_j) p_{ij}P(Xxi​,Yyj​)pij​描述。连续型存在非负函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)使得对任意区域DDDP((X,Y)∈D)∬Df(x,y) dx dy P\big((X,Y)\in D\big) \iint_D f(x,y)\,dx\,dyP((X,Y)∈D)∬D​f(x,y)dxdy且满足∬R2f(x,y) dx dy1\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dx\,dy 1∬R2​f(x,y)dxdy1。2. 期望与方差的计算期望离散型E(X)∑ixiP(Xxi)E(X) \sum_i x_i P(Xx_i)E(X)∑i​xi​P(Xxi​)其中P(Xxi)∑jpijP(Xx_i) \sum_j p_{ij}P(Xxi​)∑j​pij​连续型E(X)∫−∞∞xfX(x) dxE(X) \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dxE(X)∫−∞∞​xfX​(x)dx其中fX(x)∫−∞∞f(x,y) dyf_X(x) \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dyfX​(x)∫−∞∞​f(x,y)dy方差D(X)E(X2)−[E(X)]2D(X) E(X^2) - [E(X)]^2D(X)E(X2)−[E(X)]2⚠️ 注意计算E(X2)E(X^2)E(X2)时离散型为∑xi2P(Xxi)\sum x_i^2 P(Xx_i)∑xi2​P(Xxi​)连续型为∫x2fX(x) dx\int x^2 f_X(x)\,dx∫x2fX​(x)dx3. 边缘概率密度函数对于连续型(X,Y)(X,Y)(X,Y)边缘密度为fX(x)∫−∞∞f(x,y) dy,fY(y)∫−∞∞f(x,y) dx f_X(x) \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy,\quad f_Y(y) \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dxfX​(x)∫−∞∞​f(x,y)dy,fY​(y)∫−∞∞​f(x,y)dx关键技巧先画出联合密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)的非零区域即积分区域再根据xxx或yyy固定时的范围确定积分上下限。4. 协方差与相关系数协方差的两条核心公式定义式Cov(X,Y)E[(X−E(X))(Y−E(Y))] \text{Cov}(X,Y) E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big]Cov(X,Y)E[(X−E(X))(Y−E(Y))]计算式更常用Cov(X,Y)E(XY)−E(X)E(Y) \text{Cov}(X,Y) E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y)E(XY)−E(X)E(Y)相关系数ρXYCov(X,Y)D(X)D(Y) \rho_{XY} \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}ρXY​D(X)​D(Y)​Cov(X,Y)​∣ρXY∣≤1|\rho_{XY}| \leq 1∣ρXY​∣≤1ρXY0\rho_{XY} 0ρXY​0表示不相关无线性关系ρXY±1\rho_{XY} \pm1ρXY​±1表示完全线性相关重要结论若XXX与YYY相互独立则Cov(X,Y)0\text{Cov}(X,Y) 0Cov(X,Y)0即独立 ⇒ 不相关但不相关 ⇏ 独立反例X∼N(0,1),YX2X \sim N(0,1), Y X^2X∼N(0,1),YX2则Cov(X,Y)0\text{Cov}(X,Y)0Cov(X,Y)0但显然不独立5. 协方差的性质常考Cov(X,X)D(X)\text{Cov}(X,X) D(X)Cov(X,X)D(X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)\text{Cov}(X,Y) \text{Cov}(Y,X)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(aXb,cYd)ac Cov(X,Y)\text{Cov}(aX b, cY d) ac\,\text{Cov}(X,Y)Cov(aXb,cYd)acCov(X,Y)Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)\text{Cov}(X_1 X_2, Y) \text{Cov}(X_1,Y) \text{Cov}(X_2,Y)Cov(X1​X2​,Y)Cov(X1​,Y)Cov(X2​,Y)6. 积分计算要点一元定积分用于求边缘密度、期望、方差二重积分用于验证密度函数归一性、计算E(XY)E(XY)E(XY)、概率等积分区域判断务必画图常见区域包括矩形0≤x≤1,0≤y≤20 \le x \le 1, 0 \le y \le 20≤x≤1,0≤y≤2三角形x≥0,y≥0,xy≤1x \ge 0, y \ge 0, x y \le 1x≥0,y≥0,xy≤1圆形x2y2≤1x^2 y^2 \le 1x2y2≤1✅ 技巧若f(x,y)f(x,y)f(x,y)在某区域外为 0则积分只需在该区域内进行。题目描述以下为5道典型期末考题涵盖离散与连续两种类型融合积分、协方差、相关系数等核心考点。题目1离散型设二维离散随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合分布律如下X\YX\backslash YX\Y0100.20.110.30.4求(1)E(X),E(Y)E(X), E(Y)E(X),E(Y)(2)D(X),D(Y)D(X), D(Y)D(X),D(Y)(3)Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)与ρXY\rho_{XY}ρXY​(4) 判断XXX与YYY是否独立解答(1) 期望先求边缘分布P(X0)0.20.10.3P(X0) 0.2 0.1 0.3P(X0)0.20.10.3P(X1)0.7P(X1) 0.7P(X1)0.7→E(X)0×0.31×0.70.7E(X) 0×0.3 1×0.7 0.7E(X)0×0.31×0.70.7P(Y0)0.20.30.5P(Y0) 0.2 0.3 0.5P(Y0)0.20.30.5P(Y1)0.5P(Y1) 0.5P(Y1)0.5→E(Y)0.5E(Y) 0.5E(Y)0.5(2) 方差E(X2)02×0.312×0.70.7E(X^2) 0^2×0.3 1^2×0.7 0.7E(X2)02×0.312×0.70.7→D(X)0.7−(0.7)20.21D(X) 0.7 - (0.7)^2 0.21D(X)0.7−(0.7)20.21E(Y2)0.5E(Y^2) 0.5E(Y2)0.5→D(Y)0.5−0.250.25D(Y) 0.5 - 0.25 0.25D(Y)0.5−0.250.25(3) 协方差与相关系数E(XY)0×0×0.20×1×0.11×0×0.31×1×0.40.4E(XY) 0×0×0.2 0×1×0.1 1×0×0.3 1×1×0.4 0.4E(XY)0×0×0.20×1×0.11×0×0.31×1×0.40.4Cov(X,Y)0.4−0.7×0.50.4−0.350.05\text{Cov}(X,Y) 0.4 - 0.7×0.5 0.4 - 0.35 0.05Cov(X,Y)0.4−0.7×0.50.4−0.350.05ρXY0.050.21⋅0.25≈0.050.458×0.5≈0.218\rho_{XY} \dfrac{0.05}{\sqrt{0.21} \cdot \sqrt{0.25}} ≈ \dfrac{0.05}{0.458 × 0.5} ≈ 0.218ρXY​0.21​⋅0.25​0.05​≈0.458×0.50.05​≈0.218(4) 独立性检验检查是否对所有i,ji,ji,j有pijP(Xxi)P(Yyj)p_{ij} P(Xx_i)P(Yy_j)pij​P(Xxi​)P(Yyj​)P(X0,Y0)0.2P(X0,Y0) 0.2P(X0,Y0)0.2而P(X0)P(Y0)0.3×0.50.15≠0.2P(X0)P(Y0) 0.3×0.5 0.15 ≠ 0.2P(X0)P(Y0)0.3×0.50.150.2→不独立题目2连续型积分区域为三角形设(X,Y)(X,Y)(X,Y)的联合概率密度为f(x,y){2,0xy10,其他 f(x,y) \begin{cases} 2, 0 x y 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases}f(x,y){2,0,​0xy1其他​求(1) 边缘密度fX(x),fY(y)f_X(x), f_Y(y)fX​(x),fY​(y)(2)E(X),E(Y)E(X), E(Y)E(X),E(Y)(3)Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)解答(1) 边缘密度对固定xxxyyy范围是xy1x y 1xy1→fX(x)∫x12 dy2(1−x),0x1 f_X(x) \int_x^1 2\,dy 2(1 - x),\quad 0 x 1fX​(x)∫x1​2dy2(1−x),0x1对固定yyyxxx范围是0xy0 x y0xy→fY(y)∫0y2 dx2y,0y1 f_Y(y) \int_0^y 2\,dx 2y,\quad 0 y 1fY​(y)∫0y​2dx2y,0y1(2) 期望E(X)∫01x⋅2(1−x) dx2∫01(x−x2) dx2(12−13)13E(X) \int_0^1 x \cdot 2(1 - x)\,dx 2\int_0^1 (x - x^2)\,dx 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \frac{1}{3}E(X)∫01​x⋅2(1−x)dx2∫01​(x−x2)dx2(21​−31​)31​E(Y)∫01y⋅2y dy2∫01y2 dy23E(Y) \int_0^1 y \cdot 2y\,dy 2\int_0^1 y^2\,dy \frac{2}{3}E(Y)∫01​y⋅2ydy2∫01​y2dy32​(3) 协方差先算E(XY)E(XY)E(XY)E(XY)∬0xy1xy⋅2 dx dy2∫01∫0yxy dx dy2∫01y[x22]0ydy2∫01y⋅y22dy∫01y3dy14 E(XY) \iint_{0xy1} xy \cdot 2\,dx\,dy 2\int_0^1 \int_0^y xy\,dx\,dy 2\int_0^1 y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y dy 2\int_0^1 y \cdot \frac{y^2}{2} dy \int_0^1 y^3 dy \frac{1}{4}E(XY)∬0xy1​xy⋅2dxdy2∫01​∫0y​xydxdy2∫01​y[2x2​]0y​dy2∫01​y⋅2y2​dy∫01​y3dy41​所以Cov(X,Y)14−13⋅2314−299−836136 \text{Cov}(X,Y) \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \frac{1}{4} - \frac{2}{9} \frac{9 - 8}{36} \frac{1}{36}Cov(X,Y)41​−31​⋅32​41​−92​369−8​361​题目3判断独立与不相关已知X∼U(−1,1)X \sim U(-1,1)X∼U(−1,1)YX2Y X^2YX2。证明XXX与YYY不相关但不独立。解答E(X)0E(X) 0E(X)0对称区间均匀分布E(Y)E(X2)∫−11x2⋅12dx12⋅2313E(Y) E(X^2) \int_{-1}^1 x^2 \cdot \frac{1}{2} dx \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \frac{1}{3}E(Y)E(X2)∫−11​x2⋅21​dx21​⋅32​31​E(XY)E(X3)∫−11x3⋅12dx0E(XY) E(X^3) \int_{-1}^1 x^3 \cdot \frac{1}{2} dx 0E(XY)E(X3)∫−11​x3⋅21​dx0奇函数Cov(X,Y)0−0⋅130\text{Cov}(X,Y) 0 - 0 \cdot \frac{1}{3} 0Cov(X,Y)0−0⋅31​0→不相关但显然YYY完全由XXX决定故不独立例如P(Y0.25∣X0.8)0P(Y0.25 | X0.8) 0P(Y0.25∣X0.8)0但P(Y0.25)0P(Y0.25) 0P(Y0.25)0。题目4协方差性质应用设X,YX, YX,Y满足E(X)1,E(Y)2,D(X)4,D(Y)9,ρXY0.5E(X)1, E(Y)2, D(X)4, D(Y)9, \rho_{XY}0.5E(X)1,E(Y)2,D(X)4,D(Y)9,ρXY​0.5。令Z2X−Y3Z 2X - Y 3Z2X−Y3求D(Z)D(Z)D(Z)。解答利用方差公式D(Z)D(2X−Y)4D(X)D(Y)−4Cov(X,Y) D(Z) D(2X - Y) 4D(X) D(Y) - 4\text{Cov}(X,Y)D(Z)D(2X−Y)4D(X)D(Y)−4Cov(X,Y)先求Cov(X,Y)ρXYD(X)D(Y)0.5⋅4⋅90.5⋅63\text{Cov}(X,Y) \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)} 0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot 9} 0.5 \cdot 6 3Cov(X,Y)ρXY​D(X)D(Y)​0.5⋅4⋅9​0.5⋅63所以D(Z)4×49−4×3169−1213 D(Z) 4×4 9 - 4×3 16 9 - 12 13D(Z)4×49−4×3169−1213题目5综合题设(X,Y)(X,Y)(X,Y)联合密度为f(x,y){1π,x2y2≤10,其他 f(x,y) \begin{cases} \frac{1}{\pi}, x^2 y^2 \leq 1 \\ 0, \text{其他} \end{cases}f(x,y){π1​,0,​x2y2≤1其他​即单位圆内均匀分布求Cov(X,Y)\text{Cov}(X,Y)Cov(X,Y)解答由于密度关于xxx轴和yyy轴对称可知E(X)0E(X) 0E(X)0,E(Y)0E(Y) 0E(Y)0E(XY)∬x2y2≤1xy⋅1πdxdyE(XY) \iint_{x^2y^2 \le 1} xy \cdot \frac{1}{\pi} dx dyE(XY)∬x2y2≤1​xy⋅π1​dxdy注意到被积函数xyxyxy是关于xxx的奇函数固定yyy且积分区域对称故积分为 0。因此Cov(X,Y)0−00\text{Cov}(X,Y) 0 - 0 0Cov(X,Y)0−00即不相关。但注意XXX与YYY不独立因为知道XXX的值会限制YYY的范围总结与鼓励 通过以上5道典型题目我们系统复习了二维随机变量的核心考点从离散到连续、从边缘密度到协方差、从积分计算到独立性判断。这些内容几乎覆盖了期末考试中80% 以上的相关大题✨记住独立一定不相关但不相关不一定独立计算前先画图积分区域要清晰协方差用E(XY)−E(X)E(Y)E(XY) - E(X)E(Y)E(XY)−E(X)E(Y)更高效如果你觉得这篇总结对你有帮助别忘了点赞 、收藏 ⭐、关注我我会持续更新更多期末突击干货和考研数学精讲坚持就是胜利你离高分只差一次系统的复习加油未来的你一定会感谢现在拼命的自己